Question

1．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（Ⅰ）求B₀的值；
（Ⅱ）当B=B₀，a=1，c=2，D为AC的中点时，求BD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得B₀的值；
（Ⅱ）由已知结合余弦定理求得△ABC为直角三角形，再由勾股定理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即$b=\frac{a+c}{2}$．
由余弦定理知，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{{（\frac{a+c}{2}）}^2}}}{2ac}=\frac{{3（{a^2}+{c^2}）-2ac}}{8ac}≥\frac{3（2ac）-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，∴B的最大值${B_0}=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$B={B_0}=\frac{π}{3}，a=1，c=2$，
∴b²=a²+c²-2accosB=3，
得c²=a²+b²，∴$C=\frac{π}{2}$，
∴$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$BD=\sqrt{C{D^2}+B{C^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．