Question

9．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，$\overrightarrow m=（sinA，-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}，cosA）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$a=2，b=2\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、三角函数求值即可得出；
（II）利用正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（ I）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴$\sqrt{3}sinA-cosA=0$，∴$tanA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{6}$．…（4分）
（II）由正弦定理可得，$sinB=\frac{bsinA}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵a＜b，∴A＜B，∴$B=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．…（6分）
当$B=\frac{π}{4}$时，$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{2}（1+\sqrt{3}）}}{4}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2（1+\sqrt{3}）$；…（8分）
$B=\frac{3π}{4}$时，$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{2}（\sqrt{3}-1）}}{4}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2（\sqrt{3}-1）$．…（11分）
故△ABC的面积为$2（1+\sqrt{3}）$或$2（\sqrt{3}-1）$．…（12分）

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数求值、正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．