Question

11．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{2sin（{A+C}），\sqrt{3}}）$，向量$\overrightarrow n=（{cos2B，1-2{{cos}^2}\frac{B}{2}}）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinAsinC=sin²B，求a-c的值．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，可得2sin（A+C）$（1-2co{s}^{2}\frac{B}{2}）$-$\sqrt{3}$cos2B=0，解得tan2B=$-\sqrt{3}$，可得B．
（II）sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：ac=b²，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴2sin（A+C）$（1-2co{s}^{2}\frac{B}{2}）$-$\sqrt{3}$cos2B=0，
∴-2sinBcosB=$\sqrt{3}$cos2B，即sin2B=-$\sqrt{3}$cos2B，解得tan2B=$-\sqrt{3}$，
∵$B∈（0，\frac{π}{2}）$，∴2B∈（0，π），∴$2B=\frac{2π}{3}$，解得B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：ac=b²，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴ac=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$，化为（a-c）²=0，解得a-c=0．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、数量积运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．