Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥P-ABCD的高，PA=AB=2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点．
（1）求证：平面MNE∥平面ACP；
（2）求四面体AMBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点，得MN∥PA，NE∥AC，由此能证明平面MNE∥平面ACP．
（2）由已知得MN⊥平面ABC，且MN=$\frac{1}{2}PA=1$，由此能求出四面体AMBC的体积．

解答 证明：（1）∵点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点，
∴MN∥PA，NE∥AC，
PA∩AC=A，MN∩NE=N，
PA，AC?平面PAC，MN，NE?平面MNE，
∴平面MNE∥平面ACP．
解：（2）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥P-ABCD的高，
PA=AB=2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点．
∴MN⊥平面ABC，且MN=$\frac{1}{2}PA=1$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴四面体AMBC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×MN$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．