Question

6．等比数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=256，S₃=448，T_n为数列{a_n}的前n项乘积，则T_n当取得最大值时，n=8或9．

Answer 1

分析 由已知列式求出等比数列的公比，得到通项公式，由n≤9时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}≥1$，n＞9时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}＜1$得答案．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=256，S₃=448，得256（1+q+q²）=448，
解得：$q=\frac{1}{2}$或q=-$\frac{3}{2}$，
∵a_n＞0，∴q=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}={a}_{n}=256•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
当n≤9时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}≥1$，
当n＞9时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}＜1$，
∴当n=8或9时，T_n取得最大值．
故答案为：8或9．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．