Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AA₁的中点，F是棱A₁B₁上的点，且A₁F：FB₁=1：3，则异面直线EF与BC₁所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与BC₁所成角．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为4，
则E（4，0，2），F（4，1，4），B（4，4，0），C₁（0，4，4），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-4，0，4），
设异面直线EF与BC₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{8}{\sqrt{5}•\sqrt{32}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．