Question

8．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N是PC中点．
（1）求证：MN∥面PAB；
（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证CM⊥AD．

Answer 1

分析 （1）取BC中点E，连结ME、NE，由已知推导出平面PAB∥平面MNE，由此能证明MN∥平面PAB．
（2）利用面面垂直的性质，由平面PMC⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，可证CM⊥平面PAD，由AD?平面PAD，即可证明CM⊥AD．

解答 证明：（1）取BC中点E，连结ME、NE，
∵四棱锥的底面ABCD是平行四边形，M是AD中点，N是PC中点，
∴ME∥AB，NE∥PB，
∵AB∩PB=B，ME∩NE=E，
∴平面PAB∥平面MNE，
∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAB．
（2）∵平面PMC⊥平面PAD，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又∵平面PMC∩平面ABCD=CM，
∴CM⊥平面PAD，
∵AD?平面PAD，
∴CM⊥AD．

点评 本题主要考查了线面平行的证明，考查了面面垂直的性质，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于中档题．