Question

14．F₁，F₂是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△F₁BF₂是一个底角为30°的等腰三角形，则该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，设虚轴的一个端点B（0，b），△F₁BF₂是一个底角为30°的等腰三角形，得到c=$\sqrt{3}$b，再用平方关系化简得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线的$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∵可得虚轴的一个端点B（0，b），F₁（-c，0），F₂（-c，0），
∴由△F₁BF₂是一个底角为30°的等腰三角形，得c=$\sqrt{3}$b，
平方得c²=3b²=3（c²-a²），可得3a²=2c²，
∴c=$\sqrt{\frac{3}{2}}$a，得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题给出△F₁BF₂是一个底角为30°的等腰三角形，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．