Question

2．椭圆ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）与直线y=1-2x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设出A，B两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，则A，B中点坐标可求，由斜率公式列式可得$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：设：点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=1-2x代入椭圆ax²+by²=1得：（a+4b）x²-4bx+b-1=0，
△=（-4b）²-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．
x₁+x₂=$\frac{4b}{a+4b}$，x₁x₂=$\frac{b-1}{a+4b}$．
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2b}{a+4b}$，
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1-2{x}_{1}+1-2{x}_{2}}{2}$=$\frac{2-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=1-（x₁+x₂）=1-$\frac{4b}{a+4b}$=$\frac{a}{a+4b}$．
设M是线段AB的中点，∴M（$\frac{2b}{a+4b}$，$\frac{a}{a+4b}$）．
∴直线OM的斜率为$\frac{\frac{a}{a+4b}}{\frac{2b}{a+4b}}$=$\frac{a}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$．代入①满足△＞0（a＞0，b＞0）．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题．