Question

5．设数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4{a}_{n}+3}{{4}^{n}}$，求数列{b_n}中的最大项的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ，可得a_n+1-a_n=（n+1）3ⁿ．利用“累加求和”、“错位相减法”即可得出．
（2）b_n=$\frac{4{a}_{n}+3}{{4}^{n}}$=（2n-1）$•（\frac{3}{4}）^{n}$＞0，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{6n+3}{8n-4}$，对n分类讨论，即可得出单调性．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ，∴a_n+1-a_n=（n+1）3ⁿ．
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n•3^n-1+（n-1）•3^n-2+…+2×3，
则3a_n=n•3ⁿ+（n-1）•3^n-1+…+2×3²，
∴-2a_n=2×3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ=$2+\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ=$\frac{1-2n}{2}•{3}^{n}$+$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n}$-$\frac{3}{4}$．
当n=1时也成立，
∴a_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n}$-$\frac{3}{4}$．
（2）b_n=$\frac{4{a}_{n}+3}{{4}^{n}}$=（2n-1）$•（\frac{3}{4}）^{n}$＞0，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{（2n+1）•（\frac{3}{4}）^{n+1}}{（2n-1）•（\frac{3}{4}）^{n}}$=$\frac{6n+3}{8n-4}$，
由于（6n+3）-（8n-4）=7-2n，
可得n=1，2，3时，b_n+1＞b_n；当n≥4时，b_n+1＜b_n．
∴数列{b_n}中的最大项为b₄，可得b₄=$7×（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{567}{256}$．

点评 本题考查了“累加求和”、“错位相减法”、递推关系、分类讨论、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．