Question

15．某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是$\frac{1}{3}$，用ξ表示地点C空降人数，求：
（Ⅰ）地点A空降1人，地点B、C各空降2人的概率；
（Ⅱ）随机变量ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析 （I）先求出基本事件的总数，再求出“地点A空降1人，地点B、C各空降2人”包含的基本事件个数，由此能求出所求事件的概率．
（ II）由题意知随机变量ξ～B（5，$\frac{1}{3}$），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（I）基本事件的总数为3⁵个，
“地点A空降1人，地点B、C各空降2人”包含的基本事件为$C_5^1C_4^2$，…（3分）
所以所求事件的概率为：$P=\frac{C_5^1C_4^2}{3^5}=\frac{10}{81}$；…（5分）
（ II）由题意知随机变量ξ～B（5，$\frac{1}{3}$），…（7分）
∴随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{40}{243}$，
P（ξ=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{2}{3}$=$\frac{10}{243}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$，…（10分）
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

…（11分）
根据二项分布得数学期望$Eξ=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型承受机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．