Question

4．对任意正整数n，设a_n是方程x³+$\frac{x}{n}$=1的实数根．求证：
（1）a_n+1＞a_n；
（2）$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{（i+1）^{2}{a}_{i}}$＜a_n．

Answer 1

分析 由题意可得0＜a_n＜1．
（1）由a_n+1、a_n是方程的实数根得到由$0={{a}_{n+1}}^{3}-{{a}_{n}}^{3}+\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$，因式分解后可得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；
（2）由${a}_{n}（{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}）=1$，得${a}_{n}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}}＞\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}$，进一步得到$\frac{1}{（n+1）^{2}{a}_{n}}＜\frac{1}{n（n+1）}$，然后利用裂项相消法证得数列不等式．

解答 证明：∵a_n是方程x³+$\frac{x}{n}$=1的实数根，∴${{a}_{n}}^{3}+\frac{{a}_{n}}{n}=1$，则0＜a_n＜1．
（1）由$0={{a}_{n+1}}^{3}-{{a}_{n}}^{3}+\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$$＜{{a}_{n+1}}^{3}-{{a}_{n}}^{3}+\frac{{a}_{n+1}}{n}-\frac{{a}_{n}}{n}$=$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）（{{a}_{n+1}}^{2}+{a}_{n+1}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}）$，
又∵${{a}_{n+1}}^{2}+{a}_{n+1}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}＞0$，
∴a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；
（2）∵${a}_{n}（{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}）=1$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+\frac{1}{n}}＞\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}$，
从而$\frac{1}{（n+1）^{2}{a}_{n}}＜\frac{1}{n（n+1）}$，
则$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{（i+1）^{2}{a}_{i}}$＜$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i（i+1）}=\sum_{i=1}^{n}（\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}＜{a}_{n}$．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．