Question

19．已知圆上A、B、C、D四点依次排列，AB=BC=3，CD=4，DA=8，则该圆的半径为$\frac{{3\sqrt{205}}}{10}$．

Answer 1

分析 连接AC，设∠ADC=α，则∠ABC=180°-α，利用余弦定理解得AC和cosα，sinα，再利用正弦定理即可解得圆的半径．

解答 解：连接AC，设∠ADC=α，则∠ABC=180°-α，
利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos（180°-α）=DC²+DA²-2DC•DA•cosα，
可得：9+9+2×3×3×cosα=16+64-2×4×8×cosα，整理可得：cosα=$\frac{31}{41}$，
由此解得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{12\sqrt{5}}{41}$，AC=$\frac{36\sqrt{41}}{41}$，
再利用正弦定理解得圆的半径为$\frac{AC}{2sinα}=\frac{{3\sqrt{205}}}{10}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{205}}}{10}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．