Question

11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为：a，b，c，$若满足\sqrt{3}a=b（\sqrt{3}cosC+sinC）$，则
（1）求B的值；
（2）若b=2，求a+c的范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知，得：$\sqrt{3}$cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=$\sqrt{3}$，即可得解B的值．
（2）由（1）及余弦定理即可解得a²+c²-4=ac，利用基本不等式可得（a+c）²-4=3ac≤$\frac{3}{4}$（a+c）²，从而解得a+c的范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}$a=b（$\sqrt{3}$cosC+sinC），
∴在△ABC中由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=sinB（$\sqrt{3}$cosC+sinC），
∴$\sqrt{3}$sin（B+C）=sinB（$\sqrt{3}$cosC+sinC），…（2分）
即：$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC=sinB（$\sqrt{3}$cosC+sinC），
∴$\sqrt{3}$cosBsinC=sinBsinC，…（4分）
∵在△ABC中sinC≠0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴在△ABC中B=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由（1）知B=$\frac{π}{3}$，在△ABC中由余弦定理得a²+c²-b²=2accosB，…（8分）
∴a²+c²-4=ac，即（a+c）²-4=3ac≤$\frac{3}{4}$（a+c）²，…（10分）
∴（a+c）²≤16即b＜a+c≤4，
∴2＜a+c≤4．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值的应用，考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．