Question

2．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为非零向量，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由条件即可得到$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0，（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{b}=0$，这样即可得到$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{2}$，且$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，从而可以求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$，这样便可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}，（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{b}$；
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{b}={\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}，{\overrightarrow{b}}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及向量夹角余弦的计算公式．