Question

12．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}）$，从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，能求出双曲线的离心率．

解答 解：设点F（c，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF}$=2（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$），
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}）$，
∴A（$\frac{c}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
∵点A在渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，则$\frac{2b}{3}=\frac{b}{a}•\frac{c}{3}$，
解得e=$\frac{c}{a}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．