Question

13．已知函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=-1处取得极大值，记g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$．在如图所示的程序框图中，若输出的结果S=$\frac{2016}{2017}$，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）

• A． n≤2016？
• B． n≤2017？
• C． n＞2016？
• D． n＞2017？

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=-1处取得极大值，可求出a值，进而求出函数f（x）及函数g（x）的解析式，然后利用裂项相消法，可求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）的值与n的关系，分析出最后进行循环的循环变量n的终值，分析后可得判断条件．

解答 解：∵函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=-1处取得极大值，
故$\left\{\begin{array}{l}{3a＞0}\\{f′（-1）=3a-1=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=x²+x，
∴g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$=$\frac{1}{{x}^{2}+x}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$，
∴g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
若输出的结果S=$\frac{2016}{2017}$，
则表示累加的终值应满足n=2016，
即n≤2016时，满足进入循环进行累加的条件，n＞2016时退出循环，
故选：C．

点评 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．