Question

5．已知数列{a_n}满足：${a_1}=2，{a_{n+1}}+{a_n}=9×{2^{n-1}}$．
（1）记${b_n}={a_n}-3×{2^{n-1}}$，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足：${a_1}=2，{a_{n+1}}+{a_n}=9×{2^{n-1}}$．变形为${a}_{n+1}-3×{2}^{n}$=-$（{a}_{n}-3×{2}^{n-1}）$，由${b_n}={a_n}-3×{2^{n-1}}$，可得：b_n+1=-b_n，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可知：b_n=（-1）ⁿ，即a_n=3×2^n-1+（-1）ⁿ，$n{a_n}=3n×{2^{n-1}}+n×{（-1）^n}$，利用“错位相减法”、分类讨论与分组求和即可得出．

解答 （1）证明：数列{a_n}满足：${a_1}=2，{a_{n+1}}+{a_n}=9×{2^{n-1}}$．变形为${a}_{n+1}-3×{2}^{n}$=-$（{a}_{n}-3×{2}^{n-1}）$，由${b_n}={a_n}-3×{2^{n-1}}$，可得：b_n+1=-b_n，
其中b₁=a₁-3=-1，∴数列{b_n}为等比数列，首项与公比都为-1．
（2）解：由（1）可知：b_n=（-1）ⁿ，即a_n=3×2^n-1+（-1）ⁿ．
∴$n{a_n}=3n×{2^{n-1}}+n×{（-1）^n}$，…（6分）
设${T_n}=1×{2^0}+2×{2^1}+3×{2^2}+…+（n-1）×{2^{n-2}}+n×{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n-1）×{2^{n-1}}+n×{2^n}$，②
①-②得$-{T_n}={2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n×{2^n}={2^n}-1-n×{2^n}$，
∴${T_n}=1+（n-1）×{2^n}$，…（8分）
设${Q_n}=-1+2-3+…+{（-1）^n}n$，即${Q_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{n+1}{2}，\;n为奇数}\\{\frac{n}{2}，\;n为偶数}\end{array}}\right.$，…（10分）
∴${S_n}=3{T_n}+{Q_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3（n-1）×{2^n}-\frac{n-5}{2}，n为奇数}\\{3（n-1）×{2^n}+\frac{n+6}{2}，\;n为偶数}\end{array}}\right.$，…（12分）

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”与分组求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．