Question

17．定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量$\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，f（{x_1}）}），\overrightarrow{OB}=（{{x_2}，f（{x_2}）}），\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，且实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂，此时向量$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（{1-λ}）\overrightarrow{OB}$．若$|{\overrightarrow{MN}}$|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x²-2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 y_N-y_M=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]=$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$，由题意可得：$|\overrightarrow{MN}|$=|y_N-y_M|=|$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$|≤|λ（1-λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：y_N-y_M=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]
=$λ（{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）$+$（1-λ）（{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}）$-$[λ{x}_{1}+（1-λ）{x}_{2}]^{2}$+2[λx₁+（1-λ）x₂]
=$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$，
|x₁-x₂|≤|1-2|=1，
由题意可得：$|\overrightarrow{MN}|$=|y_N-y_M|=|$λ（1-λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$|≤|λ（1-λ）|≤$（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
由于$|{\overrightarrow{MN}}$|≤K恒成立，
∴$K≥\frac{1}{4}$，
∴K的最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、模的计算公式、二次函数的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．