Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax^2+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则a的最小值为（　　）

• A． -$\frac{7}{16}$
• B． -$\frac{9}{16}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用函数f（x-2）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可．

解答 解：f（x-2）表示函数f（x）的图象向右平移2个单位，若f（x-2）≥f（x）恒成立，
则等价为f（x-2）的图象高于f（x）的图象，
由选择项知，a≠0，
若a＞0，作出函数f（x）的图象如图：此时不满足条件．

若a＜0时，作出函数f（x）的图象如图，
要使f（x-2）的图象高于f（x）的图象，

只需要当x＞0时，和y=-2x平行的直线与y=ax²+x相切或相离即可，
设和y=-2x平行的直线方程为y=-2x+b，
y=ax²+x的导数f′（x）=2ax+1，
由2ax+1=-2得2ax=-3，
即x=-$\frac{3}{2a}$，此时y=a（-$\frac{3}{2a}$）²-$\frac{3}{2a}$=$\frac{3}{4a}$，即切线坐标为（-$\frac{3}{2a}$，$\frac{3}{4a}$），
则对应的切线方程为y-$\frac{3}{4a}$=-2（x+$\frac{3}{2a}$），
令y=0，得切线在x轴的零点为-$\frac{9}{8a}$，
要使使f（x-2）的图象高于f（x）的图象，
则-$\frac{9}{8a}$≥2，得a≥-$\frac{9}{16}$，
故选：B

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．