Question

6．关于x的方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]上有两个相异实根α，β，则sin（α+β）=（　　）

• A． $\frac{ab+bc+ac}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$
• B． -$\frac{ab+bc+ac}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$
• C． $\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$
• D． -$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$

Answer 1

分析 将α、β代入方程后相减，然后根据和差化积公式求出tan$\frac{α+β}{2}$的值，再由万能公式可得答案．

解答 解：∵方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]内有两个相异的实根α、β，
∴asinα+bcosα+c=0  ①
asinβ+bcosβ+c=0    ②
∴方程①-②得a（sinα-sinβ）+b（cosα-cosβ）=0，
即a×（2sin$\frac{α-β}{2}$cos$\frac{α+β}{2}$）-b（2sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$）=0，
∴2sin$\frac{α-β}{2}$（acos$\frac{α+β}{2}$-bsin$\frac{α+β}{2}$）=0，
∵α≠β，∴sin$\frac{α-β}{2}$≠0，
∴acos$\frac{α+β}{2}$-bsin$\frac{α+β}{2}$=0，则tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{a}{b}$，
∴sin（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
故选：C．

点评 本题主要考查和差化积公式和万能公式的应用．三角函数部分公式比较多，要强化记忆，是中档题．