Question

6．求和：1×3+3×3²+5×3³…+（2n-1）×3ⁿ．

Answer 1

分析 利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ，
则3S_n=3²+3×3³+…+（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
两式相减可得：-2S_n=3+2×3²+…+2×3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-3=3ⁿ⁺¹-6-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．