Question

3．已知函数f（x）=|x-a|，函数g（x）=|x+l|，其中a为实数．
（I）A={x|f（x）≤2}，B={x|g（x）+g（x-l）≤5}，且A是B的子集，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x∈R，不等式f（x）+g（x）＞2a+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由|x-a|≤2，解出可得集合A={x|a-2≤x≤a+2}．由g（x）+g（x-l）≤5，可得|x+1|+|x|≤5，对x分类讨论，去掉绝对值符号利用A是B的子集即可得出．
（2）利用f（x）+g（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|即可得出．

解答 解：（1）由|x-a|≤2，解得a-2≤x≤a+2．
∴A={x|a-2≤x≤a+2}，…（1分）
∵g（x）+g（x-l）≤5，∴|x+1|+|x|≤5，
当x≥0时，化为2x+1≤5，解得x≤2，∴0≤x≤2．
当-1≤x＜0时，化为x+1-x≤5，化为0≤4，恒成立，∴-1≤x＜0．
当x＜-1时，化为-2x-1≤5，解得x≥-3，∴-3≤x＜0．
∴B={x|-3≤x≤2}…（3分）
∵A是B的子集，∴$\left\{{\begin{array}{l}{a-2≥-3}\\{a+2≤2}\end{array}}\right.$，∴-1≤a≤0…（5分）
（2）∵f（x）+g（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|…（7分）
当且仅当（x-a）（x+1）≤0时等号成立，…（8分）
∴|a+1|＞2a+1，解得a＜0…（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．