Question

8．椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，则直线l斜率k的值为（　　）

• A． k=2
• B． k=3
• C． .k=$\frac{1}{3}$或3
• D． k=2或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得AMB的坐标，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}-1）}{{y}_{1}（{x}_{2}+1）}$=2，由题设知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推导出k的值．

解答 解：由题意可得A（-1，0），B（1，0），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线l：y=kx+1，
代入椭圆方程得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，
x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
k₁=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，k₁：k₂=2：1，
所以$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}-1）}{{y}_{1}（{x}_{2}+1）}$=2，
平方，结合x₁²+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，所以y₁²=4（1-x₁²），
同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
计算得$\frac{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$=4，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或k=$\frac{1}{3}$，
因为$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}-1）}{{y}_{1}（{x}_{2}+1）}$=2，x₁，x₂∈（-1，1），
所以y₁，y₂异号，故舍去k=$\frac{1}{3}$，
所以k=3．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．