Question

6．定义在（-2，2）上的奇函数f（x）恰有3个零点，当x∈（0，2）时，f（x）=xlnx-a（x-1）（a＞0），则a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1}．

Answer 1

分析 由f（x）为定义在（-2，2）上的奇函数便得到f（0）=0，又f（1）=0，从而问题便转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点，可设h（x）=xlnx，g（x）=a（x-1），容易判断a=1时h（x）=xlnx与g（x）=x-1相切，满足题意．而a＞0，且a≠1时，可以得出g（x）=a（x-1）过点（2，2ln2）时，h（x）与g（x）有两个交点，而此时a=2ln2，从而得到要使得g（x）=a（x-1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则需满足a≥2ln2，这样即得出a的取值范围．

解答 解：f（x）为（-2，2）上的奇函数；
∴f（0）=0，又f（1）=0；
∴问题转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点；
设h（x）=xlnx，g（x）=a（x-1）；
①a=1时，h′（x）=lnx+1，∴h′（1）=1；
∴h（x）=xlnx在（1，0）处的切线方程为y=x-1，即g（x）与h（x）在（1，0）相切，满足g（x）和h（x）只有一个交点，如下图所示：

②a＞0，a≠1时，h（x），g（x）都过点（1，0）；
∴当g（x）=a（x-1）过点（2，2ln2）时与h（x）有两个交点；
此时a=2ln2；
∴要使g（x）=a（x-1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则a≥2ln2；
综上所述，a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1}．
故答案为：{a|a≥2ln2，或a=1}．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，奇函数图象的对称性，根据导数求曲线在曲线上一点处切线的方法，数形结合解题的方法，清楚f（x）=h（x）-g（x）的零点个数和h（x）与g（x）交点个数的关系．