Question

14．已知AB为圆x²+y²=1的一条直径，点P为直线x-y+2=0上任意一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用向量加减运算和数量积的性质，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=|$\overrightarrow{PO}$|²-r²，即为d²-r²，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{PO}$²+$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{PO}$|²-r²，
即为d²-r²，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，
因此当d取最小值时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值最小，
可知d的最小值为$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为2-1=1．
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．