Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x-c，0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1，x＞1}\end{array}\right.$在（0，+∞）上不是单调函数，设b、c为常数
（1）若c=0，求b的取值范围；
（2）若b≤2，c＞1，且f（c）-f（b）≠k（c²-b²），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）c=0时，得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1}&{x＞1}\end{array}\right.$，而f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，从而根据二次函数和分段函数的单调性得到$\frac{b}{2}＞1$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}≤1}\\{{1}^{2}-b•1-1＜lo{g}_{2}1}\end{array}\right.$，这样便可求出b的取值范围；
（2）可判断出f（x）在（1，+∞）上为增函数，从而要使f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，便可得出b＞c，从而求出f（c）-f（b）=c²-bc，这便得到$k≠\frac{c}{c+b}$，而可求得$\frac{c}{c+b}＜\frac{1}{2}$，从而便有$k≥\frac{1}{2}$，这便得出了k的取值范围．

解答 解：（1）c=0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∵f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；
∴$\frac{b}{2}＞1$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}≤1}\\{{1}^{2}-b•1-1＜lo{g}_{2}1}\end{array}\right.$；
∴b＞2，或0＜b≤2；
∴b的取值范围为（0，+∞）；
（2）b≤2；
∴$\frac{b}{2}≤1$；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；
∴要使f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，则：1²-b•1-1＜log₂1-c；
∴-b＜-c；
∴b＞c；
又c＞1，∴b＞1；
∴f（c）-f（b）=c²-bc-1-（b²-b²-1）=c²-bc；
∴c²-bc≠k（c²-b²）；
∴$k≠\frac{{c}^{2}-bc}{{c}^{2}-{b}^{2}}=\frac{c}{c+b}$；
∵b＞c＞1；
∴b+c＞2c；
∴$\frac{c}{c+b}＜\frac{1}{2}$；
∴$k≥\frac{1}{2}$；
∴k的取值范围为$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查对数函数的单调性，以及二次函数和分段函数单调性的判断，已知函数求值的方法，不等式的性质．