Question

8．已知数列{b_n}的前n项和为S_n，数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是个首项为1公差为1的等差数列．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，问满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）由数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是个首项为1公差为1的等差数列，可得S_n=n²．利用递推关系即可得出b_n．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是个首项为1公差为1的等差数列，∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，∴S_n=n²．
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时也成立．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
T_n＞$\frac{1000}{2009}$，即$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，化为：$n＞\frac{1000}{9}$=111+$\frac{1}{9}$，

∴满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是112．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．