Question

18．（Ⅰ）已知$f（α）=\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α+π）}{tan（-π-α）sin（-π-α）}$，若α是第三象限角，且$cos（{α-\frac{3π}{2}}）=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，求f（α）的值
（Ⅱ） 已知$α，β∈（0，\frac{π}{4}），且3sinβ=sin（2α+β），\begin{array}{l}{\;}{4tan\frac{α}{2}=1-{{tan}^2}}\end{array}\frac{α}{2}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用诱导公式化简所给的式子求得sinα的值，可得cosα的值，从而求得f（α）的值．
（Ⅱ）先利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再根据3sinβ=sin（2α+β） 求得tan（α+β）的值，从而求得α+β的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（α）=\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α+π）}{tan（-α-π）sin（-π-α）}=\frac{sinαcosα（-tanα）}{-tanαsinα}=cosα$．
∵α为第三象限角，且$cos（α-\frac{3π}{2}）=-sinα=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，∴sinα=-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{1}{5}$，∴$f（α）=cosα=-\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）∵$\frac{{2tan\frac{α}{2}}}{{1-{{tan}^2}\frac{α}{2}}}=\frac{1}{2}$，∴$tanα=\frac{1}{2}$．
∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）-α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
求得tan（α+β）=2tanα=1．
∵$α，β∈（0，\frac{π}{4}）$，∴$α+β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴$α+β=\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．