Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为4π，且f（$\frac{π}{3}$）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（　　）

• A． （-$\frac{2π}{3}$，0）
• B． （-$\frac{π}{3}$，0）
• C． （$\frac{2π}{3}$，0）
• D． （$\frac{5π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由函数的周期性可得ω，代入点的坐标可得φ值，可得函数的对称中心，结合选项可得．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，
∴$\frac{2π}{ω}$=4π，解得ω=$\frac{1}{2}$，故f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
再由f（$\frac{π}{3}$）=1可得$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=kπ可得x=2kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z
∴f（x）的对称中心为（2kπ-$\frac{2π}{3}$，0），k∈Z，
结合选项可知当k=0时，f（x）的一个对称中心为（-$\frac{2π}{3}$，0），
故选：A．

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及正弦函数的周期性和对称性，属基础题．