Question

12．已知sinx+2cosx=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（1）求tan2x的值；
（2）求cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵sinx+2cosx=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，平方可得sin²x+4sinxcosx+4cos²x=$\frac{5}{2}$（sin²x+cos²x），
化简可得3sin²x-8sinxcosx-3cos²x=0，即（sinx-3cosx）•（3sinx+cosx）=0，
∴tanx=3，或tanx=$\frac{1}{3}$，
∴tan2x=$\frac{2tanx}{1{-tan}^{2}x}$=-$\frac{3}{4}$．
（2）cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）•（cos²x-sin²x）-2sinxcosx
=cos²x-sin²x-2sinxcosx=$\frac{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x-2sinxcosx}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{1{-tan}^{2}x-2tanx}{{tan}^{2}x+1}$，
当tanx=3 时，$\frac{1{-tan}^{2}x-2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=-$\frac{7}{5}$；
当tanx=$\frac{1}{3}$时，$\frac{1{-tan}^{2}x-2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{1}{5}$，
故cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x的值为-$\frac{7}{5}$或$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角的基本关系，属于中档题．