Question

7．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$为定值．

Answer 1

分析 （I）设A（x₁，y₁），B（0，-b），线段AB的中点E（x₀，x₀），x₀≠0．直线方程与椭圆方程联立化为：（a²+9b²）x²+12a²x+36a²-9a²b²=0，
利用根与系数的关系、中点坐标公式，及其x₀+3x₀+6=0，联立解出即可得出．
（II）由（I）可得：A（-3，-1），B（0，-2）．设P（m，n），代入椭圆方程化为m²=12-3n²．直线AP，BP的方程分别为：y=$\frac{n+1}{m+3}$（x+3）-1，y=$\frac{n+2}{m}$x-2，分别与直线方程y=x联立解得M，N．利用数量积运算性质即可得出．

解答 （I）解：设A（x₁，y₁），B（0，-b），线段AB的中点E（x₀，x₀），x₀≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+6=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+9b²）x²+12a²x+36a²-9a²b²=0，
∴x₁+0=$\frac{-12{a}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$=2x₀，$\frac{36{a}^{2}-9{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$=0，x₀+3x₀+6=0，
解得b²=4，a²=12，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）证明：由（I）可得：A（-3，-1），B（0，-2）．
设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{12}+\frac{{n}^{2}}{4}$=1，化为m²=12-3n²．
则直线AP，BP的方程分别为：y=$\frac{n+1}{m+3}$（x+3）-1，y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
分别与直线方程y=x联立解得M$（\frac{3n-m}{m-n+2}，\frac{3n-m}{m-n+2}）$，N$（\frac{-2m}{m-n-2}，\frac{-2m}{m-n-2}）$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-2m（3n-m）}{（m-n）^{2}-4}$=$\frac{-6mn+2{m}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}-2mn-4}$=$\frac{-6mn+2（12-3{n}^{2}）}{12-3{n}^{2}+{n}^{2}-2mn-4}$=$\frac{-6（{n}^{2}+mn-4）}{-2（{n}^{2}+mn-4）}$=3为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、数量积运算性质，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．