Question

18．一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X_n．
（1）求EX₁；
（2）设P（X_n=a+k）=p_k，求P（X_n+1=a+k），k=0，1，…，b；
（3）证明：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

Answer 1

分析 （1）n=1时，袋中的白球的个数可能为a个（即取出的是白球），也可能为a+1个（即取出的是黑球），由此能求出EX₁．
（2）$P（{X_{n+1}}=a+0）={P_0}•\frac{a}{a+b}$，k≥1时，第n+1次取出来有a+k个白球的可能性有两种；第n次袋中有a+k个白球，a+b个白球，第n+1次取出来的也是白球；第n次袋中有a+k-1个白球，第n+1次取出来的是黑球，由于每次球的总数为a+b个，此时黑球的个数为b-k+1．由此能求出P（X_n+1=a+k），k=0，1，…，b．
（3）第n+1次白球的个数的数学期望分为两类：第n次白球个数的数学期望，即EX_n．由于白球和黑球的总个数为a+b，第n+1次取出来的是白球；第n+1次取出来的是黑球．由此能证明：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

解答 解：（1）n=1时，袋中的白球的个数可能为a个（即取出的是白球），概率为$\frac{a}{a+b}$；
也可能为a+1个（即取出的是黑球），概率为$\frac{b}{a+b}$，
故$E{X_1}=a•\frac{a}{a+b}+（a+1）•\frac{b}{a+b}=\frac{{{a^2}+ab+b}}{a+b}$．
（2）首先，$P（{X_{n+1}}=a+0）={P_0}•\frac{a}{a+b}$；
k≥1时，第n+1次取出来有a+k个白球的可能性有两种；
第n次袋中有a+k个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，
即a+b个白球（故此时黑球有b-k个），第n+1次取出来的也是白球，
这种情况发生的概率为${P_k}•\frac{a+k}{a+b}$；
第n次袋中有a+k-1个白球，第n+1次取出来的是黑球，由于每次球的总数为a+b个，
故此时黑球的个数为b-k+1．
这种情况发生的概率为${P_{k-1}}•\frac{b-k+1}{a+b}（k≥1）$．
故$P（{X_{n+1}}=a+k）={P_k}•\frac{a+k}{a+b}+{P_{k-1}}•\frac{b-k+1}{a+b}（k≥1）$．
（3）第n+1次白球的个数的数学期望分为两类：
第n次白球个数的数学期望，即EX_n．由于白球和黑球的总个数为a+b，第n+1次取出来的是白球，
这种情况发生的概率是$\frac{{E{X_n}}}{a+b}$；
第n+1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是$\frac{{a+b-E{X_n}}}{a+b}$，
此时白球的个数是EX_n+1．
故$E{X_{n+1}}=\frac{{E{X_n}}}{a+b}E{X_n}+\frac{{a+b-E{X_n}}}{a+b}•（E{X_n}+1）=\frac{{{{（E{X_n}）}^2}}}{a+b}+（1-\frac{{E{X_n}}}{a+b}）（E{X_n}+1）$
=EX_n+1-$\frac{E{X}_{n}}{a+b}$．
∴：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．