Question

5．在△ABC中，已知a²=b（b+c），则$\frac{A}{B}$=2．

Answer 1

分析 由已知式子和正弦定理可得sin²A-sin²B=sinBsinC，分解因式由和差化积公式化简可得sin（A-B）=sinB，再由三角形的内角和可得．

解答 解：∵在△ABC中a²=b（b+c），∴a²-b²=bc，
∴由正弦定理可得sin²A-sin²B=sinBsinC，
∴（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sinBsinC，
由和差化积公式可得2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$•2cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$=sinBsinC，
∴2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$•2cos$\frac{A-B}{2}$•sin$\frac{A-B}{2}$=sinBsinC，
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsinC，即sinCsin（A-B）=sinBsinC，
约掉sinC可得sin（A-B）=sinB，可得A-B=B，
故可得A=2B，∴$\frac{A}{B}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查正余弦定理三角形，涉及和差化积公式和三角形的内角和，属中档题．