Question

2．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=$\frac{2π}{3}$．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（2）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）取BE中点O，AE中点F，则可证四边形OCDF是矩形，得出DF⊥OF，再由OC⊥BE，DF∥OC得出DF⊥BE，故而DF⊥平面ABE，于是平面ADE⊥平面ABE；
（2）过E作EG⊥BC，交BC延长线于G，则EG⊥平面ABD，将△ABD当做棱锥底面，则EG为棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 （1）证明：取BE中点O，AE中点F，连结OC，OF，DF，则OF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AB$．
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD
∴CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴CD$\stackrel{∥}{=}OF$．又∵AB⊥平面BCE，
∴四边形OCDF是矩形．
∴DF⊥OF，DF∥OC，
∵BC=CE，O是BE中点，
∴OC⊥BE，
∴DF⊥BE，又OF?平面ABE，BE?平面ABE，OF∩BE=O，
∴DF⊥平面ABE，∵DF?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．
（2）过E作EG⊥BC，交BC延长线于G，
∵AB⊥平面BCE，EG?平面BCE，
∴EG⊥AB，又AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，AB∩BC=B，
∴EG⊥平面ABCD．
∵CE=2，∠BCE=$\frac{2π}{3}$，∴EG=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AB×BC=\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥A-BDE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}×EG$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，找到棱锥的高是解题的关键．