Question

12．对于同一平面的单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-sinα），代入计算得到（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°），根据三角函数的性质可求．

解答 解：∵单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-sinα），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$=（1-2cosα，-2sinα），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$-cosα+$\sqrt{3}$sinα=$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°），
∵-1≤sin（α-30°）≤1，
∴-$\frac{3}{2}$≤$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°）≤$\frac{5}{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）的最大值是$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题．