Question

20．若函数f（x）=（k²+1）lnx-x²在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据f（x）在（1，+∞）上是减函数便得到导数$f′（x）=\frac{{k}^{2}+1}{x}-2x≤0$，从而得到k²+1≤2x²，而可求得2x²＞2，从而有k²+1≤2，解该不等式即可得出实数k的取值范围．

解答 解：f（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴$f′（x）=\frac{{k}^{2}+1}{x}-2x≤0$；
∴k²+1≤2x²；
∵x∈（1，+∞）；
∴2x²＞2；
∴k²+1≤2；
∴-1≤k≤1；
∴实数k的取值范围是[-1，1]．
故选A．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，可根据二次函数y=2x²在（1，+∞）上的单调性得出2x²＞2，以及一元二次不等式的解法，注意正确求导．