Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{BF}$|=6，cos∠ABF=$\frac{3}{4}$，则C的离心率的值是6-2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，由椭圆的定义和椭圆的对称性质能求出椭圆的离心率．

解答 解：如图所示
在△AFB中，由余弦定理可得：
|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
∵|AB|=8，|BF|=6，cos∠ABF=$\frac{3}{4}$，
∴|AF|²=8²+6²-2×8×6×$\frac{3}{4}$=28，
解得|AF|=2$\sqrt{7}$．
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性和勾股定理的逆定理可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=|AF|=2$\sqrt{7}$，|FF′|=8．
∴2a=6+2$\sqrt{7}$，2c=8，解得a=3+$\sqrt{7}$，c=4．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{3+\sqrt{7}}$=6-2$\sqrt{7}$．
故答案为：6-2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理和椭圆的定义的合理运用，属于中档题．