Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC-ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）-2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=$\frac{1}{2}$，可得角C的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a-b）cosC，
∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1-2cosC）=0，可得cosC=$\frac{1}{2}$．
又∵C是三角形的内角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵C=$\frac{π}{3}$，a+b=13，c=7，
∴由余弦定理可得：7²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=13²-3ab，解得：ab=40，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题．