Question

18．设P₁P₂P₃…P_n是圆的内接正n边形，O为圆心，求证：$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 分类讨论，从而分偶数与奇数进行讨论，从而证明．

解答 证明：①当n为偶数时，作图如右图，
故$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}+1}}$=$\overrightarrow{0}$，
$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}+2}}$=$\overrightarrow{0}$，
…，
$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}}}$+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，
故$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
②当n为奇数时，作图如右图，
取各段弧的中点，
构造正2n边形，由①知，
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
又∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
综上所述，
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了分类讨论与数形结合的思想方法应用及平面向量的应用．