Question

3．若方程x³-3ax+2=0（a＞0）有三个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＞0
• B． 0＜a＜1
• C． 1＜a＜3
• D． a＞1

Answer 1

分析 易知a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，从而令f（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，从而求导f′（x）=$\frac{2}{3}$$\frac{（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{{x}^{2}}$，从而判断函数的单调性与极值，从而解得．

解答 解：易知0不是方程x³-3ax+2=0的根，
故3ax=x³+2，
故a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
令f（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
则f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$$\frac{1}{{x}^{2}}$
=$\frac{2}{3}$$\frac{（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{{x}^{2}}$，
故当x∈（-∞，0）∪（0，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0），（0，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增；
而$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）=+∞，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=+∞，f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$=1，
$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞；
故当a＞1时，方程a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$有三个不同的解，
即方程x³-3ax+2=0（a＞0）有三个不同的实根，
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用，同时考查了构造法的应用．