Question

15．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长为$\sqrt{3}$，高为1，O为下底面的中心．
求：（1）求异面直线AB与CD₁所成角的大小；
（2）正四棱锥O-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）∠DCD₁为异面直线所成的角，利用三角函数值求出角的大小；
（2）棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．

解答 解（1）连结CD₁，∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥CD，
∴∠DCD₁为异面直线AB与CD₁所成的角，
∵tan∠DCD₁=$\frac{D{D}_{1}}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠DCD₁=$\frac{π}{6}$．
（2）∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
点O到平面ABCD的距离为1，
∴正四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×1$=$\frac{1}{3}×（\sqrt{3}）^{2}×1=1$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．