Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），可设：a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），化为：a_n+1=（μ-λ）a_n+λμa_n-1，
与a_n+1=a_n+2a_n-1比较可得：$\left\{\begin{array}{l}{μ-λ=1}\\{λμ=2}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由（1）可得：a_n+1+a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，化为a_n+1-$\frac{1}{3}×{2}^{n+2}$=-$（{a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），可设：a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），化为：a_n+1=（μ-λ）a_n+λμa_n-1，
与a_n+1=a_n+2a_n-1比较可得：$\left\{\begin{array}{l}{μ-λ=1}\\{λμ=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{μ=2}\\{λ=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{μ=-1}\\{λ=-2}\end{array}\right.$，
可得：a_n+1+a_n=2（a_n+a_n-1），或a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1）．
∴存在实数λ=1或-2，使数列{b_n}为等比数列．
（2）由（1）可得：a_n+1+a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
化为a_n+1-$\frac{1}{3}×{2}^{n+2}$=-$（{a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}）$，
∴${a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}$=$-\frac{1}{3}$×（-1）^n-1，
由等比数列的通项公式可得：a_n=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．