Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_na_n+1=2S_n，且a₁=1，则2×a₁+2²×a₂+…+2²⁰¹⁶×a₂₀₁₆=2+2²⁰¹⁷×2015．

Answer 1

分析 先由题意得到数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，即a_n=n，再利用错位相减法，求出前2016项的和．

解答 解：∵a_na_n+1=2S_n，
∴a_na_n-1=2S_n-1，
∴a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
∵a₁=1，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴a_n+1-a_n+（a_n-a_n-1）=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴a_n=n，
当n=1时，满足，
设T₂₀₁₆=2×a₁+2²×a₂+…+2²⁰¹⁶×a₂₀₁₆=2×1+2²×2+…+2²⁰¹⁶×2016，
∴2T₂₀₁₆=2²×1+2³×2+…+2²⁰¹⁶×2015+2²⁰¹⁷×2016，
∴-T₂₀₁₆=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶-2²⁰¹⁷×2016=$\frac{2（1-{2}^{2016}）}{1-2}$-2²⁰¹⁷×2016=2²⁰¹⁷-2-2²⁰¹⁷×2016=-2-2²⁰¹⁷×2015
∴T₂₀₁₆=2+2²⁰¹⁷×2015
故答案为：2+2²⁰¹⁷×2015

点评 本题考查数列的通项，以及错位相减法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．