Question

11．函数f（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析 设cosx=t，则0≤t≤1，则f（t）=1-t²+at-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$，由二次函数区间的最值分类讨论可得．

解答 解：设cosx=t，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤t≤1，
∵f（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x，
∴f（t）=1-t²+at-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$，
当$\frac{a}{2}$≤0时，即a≤0时，f（t）_max=f（0）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=2，解得a=-6，
当$\frac{a}{2}$≥1时，即a≥2时，f（t）_max=f（1）=a-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$=2，解得a=3，
当0＜$\frac{a}{2}$＜1时，即0＜a＜2时，f（t）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$=2，解得a=3或a=-2，舍去，
综上所述a的值为-6或3．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及分类讨论和分类常数法以及二次函数区间的最值，属中档题．