Question

17．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，则$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 可画出图形，然后分别过A，B作BC，AC的垂线AD，BE，垂足分别为D，E，根据三角形的面积公式便可得到：$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}$，而由条件$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$便可得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$，带入前面的式子即可得到$\frac{sinB}{sinA}•cosA=3cosB$，这样即可求出$\frac{tanA}{tanB}$的值．

解答 解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，作BE⊥AC，垂足为E，则：

$|\overrightarrow{AB}|sinA•|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}|sinB•|\overrightarrow{BC}|$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}$；
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$得，$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$；
∴$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}•cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$；
∴$\frac{sinB}{sinA}•cosA=3cosB$；
∴$\frac{sinB}{cosB}=3•\frac{sinA}{cosA}$，即tanB=3tanA；
∴$\frac{tanA}{tanB}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 考查正弦函数的定义，三角形的面积公式，以及数量积的计算公式，弦化切公式．