Question

8．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判断AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）设PA=AB=2，三棱锥E-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由三线合一可得AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AE，故AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（2）把△ECD作棱锥的底面，求出三角形ECD的面积，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）AE⊥PD，证明如下：
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∵BC∥AD，
∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）EC=$\frac{1}{2}AB=1$，CD=2．
∵∠ABC=60°，∴∠ECD=120°，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}×EC×CD×sin∠ECD$=$\frac{1}{2}×1×2×sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥E-PCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ECD}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的结构特征与体积计算，属于中档题．