Question

18．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
②AB∥CE
③V_B-ACE体积是$\frac{1}{6}$a³；
④平面ABC⊥平面ADC．
其中正确的有①③④．（填写你认为正确的序号）

Answer 1

分析 作出直观图，逐项进行分析判断．

解答 解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB=$\sqrt{3}$a，BE=a，∴AE=$\sqrt{2}a$．
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}=a$．∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2}a$．
在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB×BC}$=$\frac{3{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴tan∠ABC=$\frac{sin∠ABC}{cos∠ABC}$=$\sqrt{2}$．
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．
连结BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，
∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，
∴CE⊥AB．故②错误．
三棱锥B-ACE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，故③正确．
∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．
故答案为①③④．

点评 本题考查了空间角的计算，线面垂直，面面垂直的判定与性质，属于中档题．