Question

10．不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+3y≥4\\ 3x+y≤4\end{array}\right.$所表示的平面区域的面积为$\frac{4}{3}$，若lgy-lg（x+a）的最大值是1，则正数a的值是$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出三角形的面积，得到y=10x+10a过A（0，4）时取得最大值，求出a的值．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：

平面区域是△ABC以及内部
而A（0，4），B（0，$\frac{4}{3}$），C（1，1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{4}{3}$）×1=$\frac{4}{3}$，
若lgy-lg（x+a）的最大值是1，
即y=10x+10a过A（0，4）时取得最大值，
此时：a=$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查对数的运算，是一道中档题．