Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=6，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知及平面向量数量积运算可得ccosB+（b-2a）cosC=0，利用正弦定理可得sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，又C∈（0，π），从而可求C的值．
（Ⅱ）利用余弦定理可得（a+b）²-3ab=c²，可解得ab，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
∴ccosB+（b-2a）cosC=0，
∴sinCcosB+（sinB-2sinA）cosC=0，…3分
可得：sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴（a+b）²-3ab=c²，可得：36-3ab=12，解得：ab=8…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．